摘要
针对电力市场均衡策略的求解,现阶段国内外广泛采用非线性互补算法和循环迭代的方法。其中,非线性互补算法是通过Karush-Kuhn-Tucker条件将发电商最优反应函数转换成一组半光滑非线性互补方程组,松弛因子维度高且算法异常复杂。而循环迭代法采用重复求解各发电商的最优反应函数的思想,常常因为收敛性差而求不到均衡解。针对上述问题,提出了一种基于双层粒子群算法求解市场均衡的思路。其中,外层粒子群算法搜索可行域内的策略组合,以提出的纳什适应度函数为寻优标准;内层粒子群算法和内点法结合计算外层中的纳什适应度函数值。采用标准3节点和IEEE 30节点测试系统对所提算法进行了仿真,求得结果与采用非线性互补算法的结果完全一致,验证了所提出的双层粒子群算法的有效性。
0 引言
纳什均衡是预测和分析电力市场走向的有效工具,对市场的设计及监管具有重要意义[1]。一直以来,求解电力市场均衡是一个十分复杂的问题。经典的古诺均衡[2-3]和供给函数均衡[4-5]解析计算方法,由于没有考虑网络阻塞、出力约束等,无法适应于实际电力市场均衡计算,因此需要探索有效的方法求解电力市场均衡问题。
关于电力市场均衡的求解算法,国内外学者做了许多研究。文献[6-7]运用穷举法获取发电商的最优反应函数以探讨市场古诺均衡。文献[8]利用迭代的方法求解纳什均衡,但常常因为收敛性差而求不到均衡解;文献[9-11]利用Karush-Kuhn-Tucker条件,将发电商的双层优化问题转换成一组半光滑非线性互补方程组,但是算法转化过程及半光滑方程组的求解过程异常复杂,中间松弛变量维数高;文献[12-15]将发电商竞价的均衡问题模拟成种群协同进化的过程,采用协同进化算法求解,但发电商某策略下的收益是随对手策略变化的,单纯将发电商的收益作为评估策略的适应度,理论可靠性有待商榷;文献[16-17]运用多项式方程系统算法求解市场存在的混合策略均衡,当策略离散度高时求解时间也等比增加,且需要对结果进行验证,不适合进行大规模求解计算。文献[18]用多智能体仿真系统 (agent-based modeling of electricity systems,AMES)模拟市场均衡,可仿真的结果并未收敛至纳什均衡解。由此,本文提出了一种基于双层粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)求解电力市场均衡的新思路。
针对求解电力市场均衡的复杂问题,本文从纳什均衡的理论出发,提出了纳什适应度函数用以评价策略组合是否为纳什均衡,并采用双层粒子群算法进行均衡策略的进化求解。最后,采用标准3节点测试系统和IEEE 30节点测试系统对本文所提算法进行了仿真分析,仿真结果与用非线性互补算法求得的结果完全一致,验证了本文提出的双层粒子群算法的有效性。
1 电力市场运营模式
电力市场采用暗标拍卖的机制,发电商各自提交报价策略,独立系统运营商(independent system operator,ISO)在满足系统运行约束的条件下,按照最大化社会福利进行市场出清。
1.1 发电商供给函数模型
本文采用线性供给函数(linear supply function,LSF)模型构建发电商的报价策略,单位时间内,发电商的成本函数可以表示为出力的二次函数：
1.2 负荷需求模型
与发电商报价函数对应,负荷逆需求函数反映了用户意愿接受的用电价格与用电量的关系。
2 电力市场纳什均衡模型
2.1 纳什均衡基础
纳什适应度函数fnash取得最大值n,纳什均衡是该适应度函数的全局最优点。
由此,可以运用粒子群算法搜索策略组合域{S1,S2,⋯,Sn}内的所有取值组合,计算其纳什适应度函数值,直到搜索得到适应度最大的策略组合。所以,求解纳什均衡的关键在于计算纳什适应度函数值。纳什适应度函数的分子部分是发电商收益,通过计算ISO的出清问题(式(6)(7))便可求得;分母部分则是发电商在已知对手策略情况下最大化自身收益的双层优化模型。下面讨论求解发电商竞价的双层优化模型。
2.3 发电商竞价的双层优化模型
发电商在已知对手策略情况下最大化自身收益是一个双层优化模型。下层是ISO市场出清问题,将节点电价、发电商中标出力返回上层;上层是发电商在策略约束下最大化收益问题。
本文采用粒子群和内点法求解发电商竞价的双层优化问题[20]。发电商竞价的双层优化问题,已有大量文献对其进行不同的求解分析,一般称为上下层。而本文提出的双层粒子群算法也是一个双层优化问题,为与上述叫法区分开,称为内外层。
3 求解算法
本文运用双层粒子群算法求解电力市场均衡,算法思路如图1所示。其中,外层采用粒子群算法搜索可行域内的所有策略组合,计算其纳什适应度值,以此判断其是否为纳什均衡;而计算策略组合的纳什适应度值属于内层问题,需要求解“发电商竞价的双层优化问题”(这是一个上下层问题,见2.3节)方能解决,内层采用粒子群算法和内点法结合求解“发电商竞价的双层优化问题”。通过内外层的配合,从而整个市场均衡问题通过两层粒子群
算法得到了解决。
3.1 外层粒子群算法搜索策略组合
采用粒子群算法搜索发电商的策略组合,以纳什适应度函数评价解的品质,求解流程如图2所示。
3.2 内层粒子群和内点法求解纳什适应度函数
采用粒子群和内点法[21-22]求解各发电商最大化收益的双层优化模型,套用式(11),便可得到组合策略XitXti对应的纳什适应度函数值,具体求解流程如图3所示。其中,内层粒子群算法流程与图2类似,此处不再赘述,区别在于粒子适应度为发电商收益,粒子位置为单个发电商策略。
3.3 算法分析
1)采用粒子群算法搜索均衡解,规避了求解发电商双层优化构成的半光滑非线性方程组,在保证结果准确的前提下,以时间代价换取算法简化。
2)求解时间长是粒子群这类智能算法避免不了的问题,但由于其可并行计算的特性,可以采用matlab并行计算函数parfor进行多线程计算,从而大大减小求解时间。
3)可能存在内层粒子群搜索不彻底造成纳什适应度函数值偏大的情况,但文献[20]和多次重复仿真结果表明,内层粒子群的一维搜索能力可以媲美全局最优。
4 算例分析
4.1 3节点测试系统
为了验证双层粒子群算法的有效性,本节运用双层粒子群算法求解文献[9-10]的3节点测试系统,并将求解结果进行比对。3节点系统网络拓扑和基本参数如图4和表1所示,各节点间由相同导纳的线路相连,线路1-2的输电上限为Lmax。
考虑两种情况,一种为无输电阻塞(Lmax= 500 MW)的情形,另一种为有输电阻塞(Lmax= 25 MW)的情形。
仿真参数设置：外层粒子群,粒子数目10,最大进化代数200;内层粒子群,粒子数目12,最大进化代数200;kmin,kmax分别取1和2。
1)情形1,无输电阻塞Lmax=500 MW。
最优粒子的位置和纳什适应度值变化情况如图5所示,左轴是策略组合系数,右轴是策略组合的纳什适应度值。随着进化代数增加,最优粒子的纳什适应度值越来越大,最终趋近2.0达到收敛,策略组合收敛至(1.1343;1.0825),此结果与文献[9-10]中用非线性互补算法求得的结果完全一致,说明了本文提出算法的有效性。
2)情形2,有输电阻塞Lmax=25 MW。
在有输电阻塞下,进化过程中最优粒子的位置和纳什适应度值变化情况如图6所示。随着进化代数增加,最优粒子的纳什适应度值越来越大,约90代后收敛于2.0,策略组合收敛至(1.3367; 1.2525),这和非线性互补算法求解的结果也完全相符。
图6 Lmax=25 MW下进化过程中最优粒子位置及适应度
Fig. 6 Optimal particle position and fitness in evolution underLmax=25 MW
对比供给函数均衡和完全竞争下的出清结果(如表2所示),发电商在供给函数均衡下的收益普遍高于完全竞争下的,但社会福利却低于完全竞争下的。此结果表明,在不完全竞争的市场中,发电商可以采取策略性报价增加自身收益,但以社会福利的损失为代价。再比较有阻塞和无阻塞下发电商均衡策略组合,有阻塞下发电商的均衡报价系数均高于无阻塞下,说明在阻塞情况下发电商可以在小范围内行使市场力。同时阻塞的存在也改变了用户的收益格局,阻塞的存在不一定会使所有发电商的收益减少,可能使某些发电商收益减少,却使其它发电商收益增加。因线路1-2阻塞的存在,使得成本占绝对优势的G1无法向D2供应更多的电量,D2只得转而向成本较高的G2购电,造成了发电商中标电量颠覆性的改变,从而G2收益较无阻塞显著增加、G1收益较无阻塞显著减少。
表2 不同情形下的均衡策略组合和收益情况
Tab. 2 Equilibrium strategy portfolio and income under two different conditions
4.2 IEEE 30节点测试系统
IEEE 30节点系统包含6个发电商,20个负荷,41条支路。其中,发电商成本参数如表3所示,网络拓扑及负荷数据见附录。选取3条潮流最大的支路1-2、12-13、15-23,设置输电上限15 MW,使其发生阻塞。
表3 发电商的参数
Tab. 3 Data of GenCo
考虑2种情况：一种为发电商间无合谋,6个发电商独立竞价;另一种为发电商间有合谋,G1/ G2/G3属于合谋集团1,G4/G5/G6属于合谋集团2。
仿真参数设置：外层粒子群粒子数目16,最大进化代数300;内层粒子群粒子数目10,最大进化代数200;kmin、kmax分别取1和3。
1)情形3,发电商间无合谋(6机独立竞价)。
图7记录了双层粒子群算法寻优过程中最优粒子的策略组合和纳什适应度值。
图7 情形3(进化过程中最优粒子位置和适应度)
Fig. 7 Optimal particle position and fitness in evolution under situation 3
无合谋的情形下,收敛的均衡策略组合如表4所示,可以看到,只有发电商G1/3/5以高于边际成本报价,而发电商G2/4/6却按边际成本报价。这种现象可以从出清结果中解释：比较发电商所在节点电价和发电商边际电价,当发电商未满出力时,其节点电价与边际电价是一致的,此时发电商可以通过策略性报价改变节点电价和中标量,从而改变利润;而当发电商满出力时,其节点电价是大于边际电价的,此时发电商所在节点电价不再受自身策略性报价的控制,而是由未满出力发电商的边际电
表4 不同情形下的均衡策略组合和收益情况
Tab. 4 Equilibrium strategy portfolio and income under two different conditions
价、网络阻塞情况决定。发电商G2/4/6的额定容量小、负荷需求量大,导致其在边际成本一定范围内报价均会满出力中标,此时发电商的节点电价和中标量不受自身报价的影响,发电商报高价与报低价没有区别,反而报价过高会导致中标量减小、利润降低。
2)情形4,发电商间有合谋(G1/G2/G3属于合谋集团1,G4/G5/G6属于合谋集团2)。
在发电商间有合谋的情况下,进化过程中最优粒子的位置变化及纳什适应度值如图8所示,收敛的均衡策略组合如表4所示。
比较情形3和完全竞争下发电商的收益,如表4所示。发电商G2均按边际成本报价,但寡头竞争下的收益却小于完全竞争下的。原因在与虽然两种情况下G2的中标量都是一样的,但由于阻塞程度不同造成寡头竞争下节点电价低于完全竞争下的,所以G2在寡头竞争下的利润更低些。在完全竞争下,各发电商均按边际成本报价,价格低了市场成交量就很大,导致线路1-2阻塞严重,处于阻塞线路受端的节点G2,其节点电价相比正常水平高出了许多(14行3列)。而在寡头竞争下,部分发电商以高于边际成本报价,价格高了市场成交量
图8 情形4(进化过程中最优粒子位置和适应度)
Fig. 8 Optimal particle position and fitness in evolution under situation 4
相对少,阻塞情况相对完全竞争减轻了,处于支路受端G2的节点电价也就相对小了一些(13行3列)。由于网络阻塞程度不同造成的节点电价不同,引起了发电商G2在寡头竞争时利润比完全竞争时低。
再比较无合谋与有合谋(情形3和情形4)下发电商的均衡策略组合,有合谋下各发电商的收益未必都大于无合谋下的收益,但合谋整体的利润均高于无合谋下的。例如：G1/G2/G3组成的合谋集团1,合谋后的总收益比无合谋高出1.6 USD;G4/G5/G6组成的合谋集团2,合谋后的总收益比无合谋高出21.3 USD,但合谋下的社会福利却相比无合谋减少了802.9 USD。此结果表明,在不完全竞争市场中,发电商之间可以通过合谋形式彼此之间联合报价以提升整体的利润,却以牺牲社会福利为代价。对此,电力监管部门应制定严格的电力法规和激励措施,引导发电商披露真实边际成本,遏制发电商间合谋竞价的投机行为,促使电力市场向开放健康的方向发展。
5 结论
针对求解电力市场策略均衡的复杂问题,在综述现有求解方法的基础上,本文提出了双层粒子群算法求解均衡策略,并采用标准3节点系统和IEEE 30节点系统对上述算法进行了验证,得出了以下结论：
1)本文提出的双层粒子群算法可以有效的用于求解电力市场均衡的问题,甚至可以延伸至求解主辅联合市场均衡的问题。
2)发电商在寡头竞争下的利润不一定都比完全竞争下的高,发电商所处地理位置和自身机组的容量限制,可能导致发电商在寡头竞争下的收益低于完全竞争下的。
3)在不完全竞争的电力市场中,发电商之间可以通过合谋提升整体利润、削减社会福利。对此,电力监管部门应制定严格的电力法规,遏制发电商间合谋竞价的投机行为。
原标题：基于双层粒子群算法求解电力市场均衡
