摘要
首先回顾了最优潮流与安全约束经济调度问题,重点讨论了节点边际电价算法原理。着重分析了在非凸性条件下,基于安全约束机组组合与经济调度算法产生的节点边际电价机制存在的缺陷,阐述了如何利用扩展的节点边际电价机制,减少额外支付成本,促进实现激励相容的定价机制。然后,利用对偶原理,对于典型定价机制,即：Convex Hull Price、节点边际电价、整数松弛定价,产生的额外支付成本给出了严格的理论证明,并从几何角度说明其物理意义。最后,实现了混合整数规划与拉格朗日松弛2种机组组合优化算法。算例结果表明文中提出的节点边际电价与整数松弛定价的额外支付成本与Convex Hull Price最小额外支付成本之间关系原理的正确性。激励相容定价机制的研究将促进分布式可再生能源并网,从而推动电力系统向清洁、高效和智能的目标转型与升级。
（来源：电网技术 作者：王宣元1,2, 高峰1, 康重庆1, 黎灿兵3, 刘乾3, 韩颖慧4, 宋永华1,8）
1．清华大学 电机工程与应用电子技术系,北京市 海淀区 100084
2．国网冀北电力有限公司,北京市 宣武区 100053
3．湖南大学 电气与信息工程学院,湖南省 长沙市 410079
4．华北电力大学 数理学院,河北省 保定市 071003
5．ABB 公司,美国 圣何塞 95134
6．德州农工大学,美国 德州 卡城 77843
7．Maxima Sys 公司,美国 西雅图 98501
8．澳门大学 电机及电脑工程系,中国 澳门特别行政区
0 引言
节点边际电价(locational marginal price,LMP)作为一种成熟的电力市场定价理论[1-2],已经在国外许多电力市场,例如北美的PJM、MISO、CAISO、ERCOT、欧洲、澳洲和新西兰等电力市场中得到了成功的应用。
LMP定义为满足某节点新增单位负荷需求时的系统边际成本,包括发电边际成本、边际损耗成本以及输电阻塞成本。发电边际成本分量主要反映系统的增量发电成本,全系统的各个节点都具有统一的发电边际成本;边际损耗成本分量反映各节点功率与系统网损间的关系;阻塞成本分量反映系统各种网络约束及安全约束对电价的影响。
在经济学或数学领域,导致支撑市场出清决策的平衡价格不存在的现象称为非凸性(non- convexity)。电力市场的非凸性来源于其固有特性,例如：电力系统的规模经济效应、固定的机组启动成本和空载成本、不灵活机组的不可调度性质等。在关于边际成本定价理论的经济学文献中,诺贝尔经济学奖得主科斯认为在平均成本下降或非凸性的情况下,边际成本定价存在着缺陷,因为这会导致资源的低效配置和分配,并可能由于弥补损失的管理机制而进一步下降效率[3]。
在现货电力市场设计中,基于安全约束经济调度(security-constrained economic dispatch,SCED)的节点价格遵循对偶理论的最优性和均衡原则。在凸性条件下,调度和定价方案等同于安全约束经济调度过程的原始和对偶解,同时确保LMP将支持最优调度方案而不需要提供额外支付(uplift cost)。然而在非凸性条件下,对偶间隙(duality gap)将不可避免地存在,这意味着价格不能够完全支持最优调度方案,必须设计额外支付的解决方案。本文详细分析了扩展的节点电价算法原理,并针对几类通行的定价机制,给出了非凸性条件造成额外支付的严格理论证明。
电力市场运行的基本问题是理解运行条件(例如：每条母线的负荷水平、每台发电机出力状况等)对节点边际价格的影响。随着电网中需求响应和可再生能源利用率的提高,这一影响进一步加剧。本文对节点负荷水平与LMP之间关系加以研究。文献[4]提出了使用扰动技术来计算SCED中对偶变量随着参数变化(例如节点负荷水平)的敏感性效应。这种灵敏度计算方法在后续研究中得到广泛应用。然而,这种方法仅在边际发电机组保持不变的情况下,对偶变量小幅度变化时有效。文献[5]观察到随系统负荷水平增加LMP发生了“阶跃变化”,发现新的绑定约束是LMP阶跃变化的原因。文
献[6]分析了节点电价LMP从“渐变”到“阶跃变化”的系统性规律,指出最优基变换或事件驱动的离散决策(例如开停一台机组)通常是导致LMP阶跃变化的原因,并且提出高效率的计算方法,提高厂商在市场交易中的收益。文献[7]采用二次规划(quadratic programming,QP)分析这个问题,提出了系统模式和系统模式区域的概念。采用系统模式区域方法分析LMP的优点在于不会被运行点小范围邻域所限制或被特定的负荷分布模式所约束。文
献[8]利用系统模式区域分析方法识别节点电价与相关因素的关联规律,提出了利用支持向量机技术来“学习”节点电价变化模式。文献[9]对于不确定性条件下多源协同优化问题进行了探讨。
节点电价和现货市场理论,源于20世纪80年代初。在经历了90年代全球电力体制放松管制(deregulation)的实践后逐渐走向成熟。它是以人类在20世纪中发明的电力工业技术(例如：基于化石燃料的大机组、大电网和集中式调度模式等),为基础而形成的理念。然而进入21世纪以来,随着化石能源紧缺、环境污染问题的日益突出,小型化的分布式可再生电源以其可靠、经济、灵活、环保的特点而被广泛采用。但是分布式风电、光伏和储能等设施很可能具有很低、甚至零边际成本,而且数量大、分布不均,这会造成在LMP定价机制下的额外支付成本显著上升。市场参与商难以获得足够的收益来补偿其固定资产投资,比如：发电站扩容、输电网络建设等。这些问题在长期阶段将阻碍分布式可再生电源大规模并网。
本文讨论扩展的节点电价算法原理,目标是研究面向(包括分布式可再生电源在内的)所有市场参与商提供正确的价格激励信号的算法。合理的价格信号将优化资源配置,提高利用效率,降低生产成本,促进电力行业持续健康发展,实现国家能源发展战略。
1 节点电价计算原理
最优潮流是与节点电价紧密相关的一类经典问题。最优潮流在数学上是一类带约束的非线性优化问题,典型的最优潮流问题包括功率平衡的等式约束以及发电机出力、线路输电约束不等式约束等等,目标函数可以取系统发电成本最小等[10]。最优潮流问题可以表述为
一般认为,无功功率和电压支持属于辅助服务范畴,市场运行商将从市场主体处统一购买无功与电压辅助服务以确保系统运行的安全性与可靠性,因此在电力市场中以节点电价交易的商品主要是有功功率与电能量。进而作为市场出清关键技术之一的安全约束的经济调度,与最优潮流问题稍有不同,更加侧重于有功功率与电能量的调控。同时,以节点功率平衡方程表示潮流方程的约束形式将扩大约束集合的维度,增加问题的求解难度。因此,在实践中常常采用系统功率平衡方程与功率转移分布因子来替代潮流方程和输电线路约束方程。因此,安全约束的经济调度模型可以由式(2)表示。
2 扩展的节点电价算法
根据引言部分的讨论可知,在凸性假设条件下,目前节点电价(LMP)计算方法将“支持”最优调度方案,这一特点在经济学中称为“激励相容”(incentive compatible)。然而非凸性在电力市场和电力系统中是普遍、客观存在的,因此LMP价格机制并不具备激励相容的属性。如果没有适当的额外支付成本,资源存在着强烈的动机偏离其调度方案[11]。因此有必要研究改进的、激励相容的,反映系统非凸属性的定价方案。
现有的LMP定价方法在概念与实现上是清晰的。在本质上,LMP方法忽略了存在非凸性的“不灵活”发电机组,并且仅依赖SCED进行定价和机组的调度。这种简化的做法会产生不利的激励信号。即存在一种动机,鼓励各发电机在不灵活的运营参数下投标,以收取更高的费用。在LMP定价方法中,调度与价格之间的关系是一种“部分”原始-对偶关系,但这种关系可能不支持有效的调度方案。
由于在非凸性存在的情况下,没有一组价格既可以最大化厂商和用户的利益,又同时支持调度方案,因此需要考虑调整LMP机制。文献[12-15]中提出一种“扩展”的节点电价方法：Convex Hull Pricing(CHP)。扩展的LMP方法通过凸性松弛来解决这些问题,从而在更一般的对偶模型中获得有效的价格,进而改进经济激励信号。扩展的LMP方法的一个特征是将SCED模型分为调度和定价2阶段。凸性松弛允许所有资源的成本,包括柔性单元和具有非凸性条件的非柔性单元,以与竞争性市场激励相一致的方式并入定价模型中,共同设定市场价格。
利用Convex Hull的扩展LMP方法代表了既支持调度方案,又使“额外支付”最小化的理想情况。然而这种方法在实践中相对难以实施,因为它需要复杂而且具有挑战性的计算,在现货市场环境下的短时间间隔内应用是非常困难的。
基于整数松弛技术的扩展LMP方法是对Convex Hull松弛方法的一种自然逼近。在整数松弛定价(integer relaxation pricing,IRP)方法中,每台发电机机组组合变量原来等于0或1的整数值,通过部分松弛来放松。该方法采用松弛复杂整数约束即恢复凸性条件的定价模型,以确保当需求增加时系统的边际价格不会降低。从这个松弛的模式中,节点边际价格容易获得。在一定条件下,来自整数松弛的价格将是最小“额外支付”的价格。也就是说,整数松弛价格在一定条件下会等于Convex Hull松弛结果。本文在下一节将给出准确的理论证明。
在这里考虑电网调度的标准经济调度问题,并注意到市场出清应用程序需要将解决方案实时向前滚动推进,问题会更加复杂化。
2.1 调度与定价模型
典型的具有安全约束的经济调度问题可以描述为一个混合整数规划问题,模型的目标函数为
3 节点电价算法与“额外支付”成本最优化的深入讨论
在电力市场运营中,节点电价是实现能量公平交易和管理输电阻塞的核心组件。深刻理解节点电价概念,准确把握其变化规律,既可为政府监管部门在评估市场表现和改进市场设计时提供有力支撑,又将为市场交易者在投标和报价活动中提供竞争优势。
根据前面的讨论可知,目前通用的节点电价(LMP)算法属于边际成本定价机制,不能反映固定成本(fixed cost)效应,市场运行商需要通过合理的额外支付机制补偿发电商。这将对市场成员在公平交易下实现风险对冲(hedging)产生不利的影响。而Convex Hull Pricing(CHP),在所有的“扩展的节点电价”方法中,具有最优化“额外支付”成本的属性,Brendan J. Ring给出了证明[13,16]。然而这种方法需要直接计算约束函数的拉格朗日对偶乘子,本质上需要逐次“逼近”最优目标函数的凸包络(convex hull)。因此该方法的计算复杂度高,其收敛性存在挑战,在实践中相对难以实施。而且目前缺乏成熟的商业软件包,在现货市场环境下的短时间间隔内应用CHP是非常困难的。
上节提到的整数松弛算法(integer relaxation pricing,IRP)计算方法相对简单,在某些场合下可以得到与CHP相等的结果[11,13]。IRP方法看似有前景,但是仍无足够理论证明：为什么IRP有时产生与CHP相等的、最小额外支付的结果,以及在IRP 与LMP这2种机制下“额外支付”之间的关系。
本节利用最优化理论中的对偶原理,对于不同定价机制,即CHP、LMP、和IRP,产生的额外支付成本给出严格证明,并从几何角度说明其物理意义。同时给出在何种条件下,LMP和IRP机制将产生类似CHP最小额外支付成本的现象。
首先从一般非线性最优化问题开始分析。
优机组组合问题的目标函数w(y)w(y),随资源约束y变化而变化。而绿色、红色、蓝色的直实线是集合R的支持超平面(supporting hyper-plane)。其中红色实线的梯度代表在给定资源约束y下的CHP。而蓝实线、绿实线的梯度等于最优成本函数在特定点的梯度(即蓝虚线、绿虚线之处),代表在对应资源约束y下的LMP。
下面陈述定理1及其证明,定理1的结果为支持超平面与最优化问题的对偶函数值建立联系。
定理1：
证毕。
根据定理2,再次观察图1,可以从“几何”角度直观得到“额外支付成本”的物理意义：
1）图1红色实线构成了最优成本函数w(y)w(y)的Convex Hull。在约束条件y1时,线段ε-y1代表原问题最优成本;γ-y1代表对偶问题最优成本,那么ε-γ将代表在CHP机制下最小额外支付成本,即优化问题的最优对偶间隙。
2）在LMP机制下,知道蓝色虚线的梯度即在约束条件y1时的LMP。平移该线使其成为w(y)w(y)的一个“支持超平面”(supporting hyper-plane),得到一条蓝色实线及其在y1的截距。那么,根据定理2的结论,在约束条件y1时,κ-y1代表对偶问题最优成本,ε-κ将代表在LMP机制下的额外支付成本。
根据定义,既然Convex Hull是集合R的最“紧致”凸包络,那么可以肯定ε-γ≤ε-κ。并且当且仅当LMP(最优目标函数的梯度)与CHP(Convex Hull的梯度)相等时,等号才能成立。
作者也注意到文献[19]在直流最优潮流的基础之上,分析推导了在凸包络定价机制下“额外支付成本”的计算方法,得到了与定理2相似的结论。但是本文与文献[19]的区别在于站在“对偶原理”的高度看待“额外支付成本”的物理意义。更重要的是,本文在理论上证明了“额外支付成本”的几何意义。并且本文的证明是通用的,适用于包括CHP、LMP、IRP在内的,任意一种定价机制的价格向量下,额外支付成本的计算。
在定理2的帮助下,利用类似的方法,可以在图2中分析IRP机制下额外支付成本的物理意义。
总结以上讨论,不难得到如下结论。
定理3：
1）在CHP下的额外支付成本小于或等于在LMP下的额外支付成本;
2）在CHP下的额外支付成本小于或等于在IRP下的额外支付成本;
3）在LMP或者IRP下的额外支付成本有可能等于最小支付成本。发生这种可能性的充分必要条件是：LMP或者IRP恰好等于CHP。其物理(几何)含义是以LMP或者IRP为方向向量的支持超平面,此时恰好与Convex Hull重合。
4 算例分析
本节以3机组系统作为算例对节点电价与扩展的节点电价算法结果进行对比分析。3机组系统中各发电机参数如表1所示,其中机组G2和G3具有非零的固定成本。3台机组各自拥有2段出力区间及不同的可变成本。
本文同时实现了“混合整数规划”与“拉格朗日松弛”2种机组组合计算方法。对于LMP模型和IRP模型,采用的是“混合整数规划”方法。而对于CHP模型则采取了“拉格朗日松弛”方法,通过逐次迭代过程,求解拉格朗日乘子即Convex Hull Price。本文在一台2.4 GHz,8逻辑CPU,24 GB内存的服务器上进行3机组算例测试。其中LMP算法平均执行时间是0.23 s,IRP算法平均执行时间0.0001 s,CHP算法平均执行时间是14 s(以100次迭代为例)。
图3所示为在CHP/LMP/IRP机制下的最优成本函数,曲线展示了最优成本随负荷增长而变化的特性。其中蓝色曲线为最优成本函数,它具有非凸性(例如当负荷在[125,225] MW区间变化时),这是由新启动机组的固定成本所造成。在CHP和IRP机制下,最优成本曲线均为凸函数。对比两者可以发现CHP曲线构成了最优成本函数的“凸包络”。IRP曲线为CHP曲线的下限,它在区间[25,100] MW内与CHP曲线重合,但当负荷在[325,500] MW区间时,存在较大差别(更加松弛)。
图4展示了不同机制下价格的变化趋势。CHP和IRP定价机制都将满足“边际成本上升”的性质,这确保了当需求增加时系统的边际价格不会降低。但是,随着负荷的增加LMP价格并不是一直单调增长,而在部分区间中出现负荷增大反而LMP减小的情况。这是因为发电机组随着负荷的变化而切换,在切换后可变成本更加经济的发电机可能成为边际机组,导致LMP变小。这样的“价格反转”现象可以使市场参与商通过虚拟报价(virtual bid)等手段推高市场出清价格,产生“套利”的机会,不
利于市场的公平交易。而扩展的LMP算法不存在这一问题。
图5展示了在CHP/LMP/IRP机制下对偶最优成本的变化趋势。其中在LMP机制下的对偶最优成本可能是负值(例如当负荷为120 MW时),这意味着如果额外支付为零,机组将有非常强烈的动机偏离其调度指令。因为如果此时采用停机策略将优于开机策略,电厂至少不会亏损。
定理1和定理2不但帮助我们清晰地理解“额外支付”的物理意义,而且更重要的是告诉我们,任意给定一个LMP或者IRP定价向量(在实际中这2个价格相对容易得到),只需要优化求解“拉格朗日对偶函数”一次,就可以得到对应的“额外支付成本”,而无需考虑最优目标函数的凸包络(Convex Hull)。
据此计算额外支付成本。图6展示了在不同价格机制下的额外支付成本变化趋势。正如第3节的证明与讨论所述,CHP定价机制总是产生最小的额外支付成本(红色曲线)。而在[25,100]MW区间中CHP定价、IRP定价、与LMP定价产生相等额外支付成本;在[225,300]MW区间中,CHP定价与IRP定价产生相等额外支付成本;在[525,575]MW区间中CHP定价与LMP定价产生相等额外支付成本。正如上一节结论所述,在这3种情况下,不同的定价机制恰好产生了相等的价格,如表2所示。
5 结论
在电力市场运营中,节点电价是实现能量公平交易和管理输电阻塞的核心组件。深刻理解节点电价概念,准确把握其变化规律,既可为政府监管部门在评估市场表现和改进市场设计时提供有力支撑,又将为市场交易者在投标和报价活动中提供竞争优势。
目前通用的节点电价算法属于边际成本定价机制,不能反映固定成本效应,市场运行商需要通过合理的额外支付机制补偿发电商。这将对市场成员在公平交易下实现风险对冲产生不利的影响。而扩展的节点电价方法,包括CHP和IRP,具有“边际成本上升”的性质,同时CHP方法还具有最优化“额外支付”成本的属性。
本文重点讨论了节点边际电价算法原理。着重分析了在非凸性条件下,基于安全约束机组组合与经济调度算法产生的节点边际电价机制存在的缺陷,阐述了如何利用扩展的节点边际电价机制,减少额外支付成本,促进实现激励相容的定价机制。
利用对偶原理,对于典型定价机制,即：Convex Hull Price、节点边际电价、整数松弛定价,产生的额外支付成本给出了严格的理论证明,并从几何角度说明其物理意义。最后,本文实现了混合整数规划与拉格朗日松弛2种机组组合优化算法。算例结果证明本文提出的节点边际电价与整数松弛定价的额外支付成本与Convex Hull Price最小额外支付成本之间关系原理的正确性。
致 谢
亚利桑那州立大学Kory Hedman教授,Vijay Vittal教授对本文的研究工作提供了极好的建议、见解和支持,谨此致谢!
参考文献
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